Попробовать

Задание 21 ЕГЭ по информатике: страница 3

Номер 21 — «Выигрышная стратегия». Ниже 127 заданий №21 ЕГЭ по информатике: введите ответ и нажмите «Проверить». Каждое задание открывается отдельной страницей.

Ответы не сверены с ключом ФИПИ. Нашли ошибку? Напишите нам.

  1. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре обозначим (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 207. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах 207 или больше камней.
    В начальный момент в первой куче 17 камней, во второй куче - S камней; 1 < S ≤ 189.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре обозначим (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 207. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах 207 или больше камней.
    В начальный момент в первой куче 17 камней, во второй куче - S камней; 1 < S ≤ 189.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

    Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  2. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу (по своему выбору) 3 камня или 13 камней. Игра завершается, когда произведение количеств камней в двух кучах становится не менее 516. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, для которой произведение количеств камней в двух кучах не менее 516. В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй в куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 73. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после некоторого хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу (по своему выбору) 3 камня или 13 камней. Игра завершается, когда произведение количеств камней в двух кучах становится не менее 516. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, для которой произведение количеств камней в двух кучах не менее 516. В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй в куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 73. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после некоторого хода Пети.

    Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  3. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - добавить в кучу 1 камень;
    - добавить в кучу 5 камней;
    - увеличить количество камней в куче в 3 раза.
    Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 21, 25 или 60 камней.
    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 124. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 124 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 123.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - добавить в кучу 1 камень;
    - добавить в кучу 5 камней;
    - увеличить количество камней в куче в 3 раза.
    Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 21, 25 или 60 камней.
    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 124. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 124 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 123.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  4. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    – добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня;
    – увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (24, 30), (20, 34), (60, 30), (20, 90).
    Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 154. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 154 камня или больше. В начальный момент в первой куче 11 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 142.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    – добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня;
    – увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (24, 30), (20, 34), (60, 30), (20, 90).
    Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 154. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 154 камня или больше. В начальный момент в первой куче 11 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 142.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  5. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 211. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 211 или больше камней.

    В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 193.

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 211. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 211 или больше камней.

    В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 193.

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

    Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

    — у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть своим первым или вторым ходом при любой игре Пети;

    — у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть своим первым ходом.

    Если найдено несколько таких значений, в ответе укажите наименьшее из них.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  6. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - убрать из кучи 3 камня;
    - убрать из кучи 7 камней;
    - уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
    Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 13 или 5 камней.
    Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 15. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 15 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S > 15.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - убрать из кучи 3 камня;
    - убрать из кучи 7 камней;
    - уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
    Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 13 или 5 камней.
    Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 15. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 15 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S > 15.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  7. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - добавить в одну из куч (по своему выбору) камень;
    - увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (21, 30), (20, 31), (60, 30), (20, 90).
    Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 155. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 155 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче - S камней; 1 ≤ S ≤ 139.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - добавить в одну из куч (по своему выбору) камень;
    - увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (21, 30), (20, 31), (60, 30), (20, 90).
    Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 155. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 155 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче - S камней; 1 ≤ S ≤ 139.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  8. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - добавить в одну из куч (по своему выбору) камень;
    - увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 2 раза.
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (21, 30), (20, 31), (40, 30), (20, 60).
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 171. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 171 камень или больше. В начальный момент в первой куче было 25 камней, во второй куче - S камней; 1 ≤ S ≤ 145.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - добавить в одну из куч (по своему выбору) камень;
    - увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 2 раза.
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (21, 30), (20, 31), (40, 30), (20, 60).
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 171. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 171 камень или больше. В начальный момент в первой куче было 25 камней, во второй куче - S камней; 1 ≤ S ≤ 145.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  9. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - убрать из одной из куч (по своему выбору) 3 камня;
    - уменьшить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
    Например, пусть в одной куче 20 камней, в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (17, 30), (20, 27), (6, 30), (20, 10).
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более 53. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 53 камня или меньше. В начальный момент в первой куче было 19 камней, во второй куче S камней; S ≥ 35.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - убрать из одной из куч (по своему выбору) 3 камня;
    - уменьшить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
    Например, пусть в одной куче 20 камней, в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (17, 30), (20, 27), (6, 30), (20, 10).
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более 53. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 53 камня или меньше. В начальный момент в первой куче было 19 камней, во второй куче S камней; S ≥ 35.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два
    условия:
    - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  10. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - убрать из одной из куч (по своему выбору) 2 камня;
    - уменьшить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (18, 30), (20, 28), (6, 30), (20, 10).
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более 47. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 47 камней или меньше. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче - S камней; S ≥ 32.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    - убрать из одной из куч (по своему выбору) 2 камня;
    - уменьшить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (18, 30), (20, 28), (6, 30), (20, 10).
    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более 47. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 47 камней или меньше. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче - S камней; S ≥ 32.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  11. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    – добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня;
    – увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 2 раза.
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (24, 30), (20, 34), (40, 30), (20, 60). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 133. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 133 камня или больше. В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 115.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
    – добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня;
    – увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 2 раза.
    Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (24, 30), (20, 34), (40, 30), (20, 60). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 133. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 133 камня или больше. В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 115.
    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом.

    Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
    – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
    – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  12. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

    а) добавить в кучу один камень;

    б) добавить в кучу два камня;

    в) увеличить количество камней в куче в два раза.

    Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 21.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

    а) добавить в кучу один камень;

    б) добавить в кучу два камня;

    в) увеличить количество камней в куче в два раза.

    Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 21.

    Найдите количество значений S, при которых Ваня имеет выигрышную стратегию при любой игре Пети.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  13. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) 1 камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней, такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (10, 6), (20, 10) и (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 223. В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 205.

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) 1 камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней, такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (10, 6), (20, 10) и (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 223. В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 205.

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

    Известно, что Ваня имеет выигрышную стратегию за один или два хода, при этом не имеет выигрышной стратегии в один ход. Найдите минимальное значение S, при котором это возможно.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  14. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) одинкамень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 247. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 247 или больше камней.

    В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче - S камней; 1<=S<=229.

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) одинкамень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 247. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 247 или больше камней.

    В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче - S камней; 1<=S<=229.

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

    Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

    - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети.

    - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  15. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 231. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 231 или больше камней.

    В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 213.

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

    Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 231. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 231 или больше камней.

    В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 213.

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

    Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

    - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

    - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

    Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  16. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который этот же игрок делал на предыдущем ходу. Повторять чужие ходы и свои более старые ходы разрешается.

    Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 5 камней (добавил два камня), то следующим ходом Ваня может получить 6, 7 или 10 камней. Если Ваня добавил один камень и получил 6 камней, то вторым ходом Петя может получить 7 или 12 камней. Получить 8 камней Петя не может, так как для этого нужно добавить 2 камня, а Петя делал это на предыдущем ходу.

    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 21 Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 21 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 20

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который этот же игрок делал на предыдущем ходу. Повторять чужие ходы и свои более старые ходы разрешается.

    Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 5 камней (добавил два камня), то следующим ходом Ваня может получить 6, 7 или 10 камней. Если Ваня добавил один камень и получил 6 камней, то вторым ходом Петя может получить 7 или 12 камней. Получить 8 камней Петя не может, так как для этого нужно добавить 2 камня, а Петя делал это на предыдущем ходу.

    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 21 Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 21 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 20

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Найдите наибольшее значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть третьим ходом при любой игре Вани, но у Пети нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  17. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который этот же игрок делал на предыдущем ходу. Повторять чужие ходы и свои более старые ходы разрешается.

    Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 5 камней (добавил два камня), то следующим ходом Ваня может получить 6, 7 или 10 камней. Если Ваня добавил один камень и получил 6 камней, то вторым ходом Петя может получить 7 или 12 камней. Получить 8 камней Петя не может, так как для этого нужно добавить 2 камня, а Петя делал это на предыдущем ходу.

    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который этот же игрок делал на предыдущем ходу. Повторять чужие ходы и свои более старые ходы разрешается.

    Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 5 камней (добавил два камня), то следующим ходом Ваня может получить 6, 7 или 10 камней. Если Ваня добавил один камень и получил 6 камней, то вторым ходом Петя может получить 7 или 12 камней. Получить 8 камней Петя не может, так как для этого нужно добавить 2 камня, а Петя делал это на предыдущем ходу.

    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Найдите наибольшее значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть третьим ходом при любой игре Вани, но у Пети нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  18. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом удвоение разрешено выполнять, только если в куче в данный момент нечётное число камней.

    Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 4 камней (добавил один камень), то следующим ходом Ваня может получить 5 или 6 камней. Получить 8 камней Ваня не может, так как нельзя удваивать кучу с чётным числом камней.

    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 22 Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 21

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом удвоение разрешено выполнять, только если в куче в данный момент нечётное число камней.

    Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 4 камней (добавил один камень), то следующим ходом Ваня может получить 5 или 6 камней. Получить 8 камней Ваня не может, так как нельзя удваивать кучу с чётным числом камней.

    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 22 Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 21

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Найдите наименьшее значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть третьим ходом при любой игре Вани, но у Пети нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  19. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом удвоение разрешено выполнять, только если в куче в данный момент нечётное число камней.

    Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 4 камней (добавил один камень), то следующим ходом Ваня может получить 5 или 6 камней. Получить 8 камней Ваня не может, так как нельзя удваивать кучу с чётным числом камней.

    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 26. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 26 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 25

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом удвоение разрешено выполнять, только если в куче в данный момент нечётное число камней.

    Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 4 камней (добавил один камень), то следующим ходом Ваня может получить 5 или 6 камней. Получить 8 камней Ваня не может, так как нельзя удваивать кучу с чётным числом камней.

    Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 26. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 26 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 25

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Найдите наименьшее значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть третьим ходом при любой игре Вани, но у Пети нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

  20. Задание 21

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Общий запас игроков составляет 50 камней (включая те, что уже лежат в куче).

    Например, если в куче уже есть 30 камней, то следующим ходом выполнять удвоение нельзя – камней не хватит.

    Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 40

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Общий запас игроков составляет 50 камней (включая те, что уже лежат в куче).

    Например, если в куче уже есть 30 камней, то следующим ходом выполнять удвоение нельзя – камней не хватит.

    Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 40

    Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

    Найдите такое значение S, при котором у Пети нет стратегии, позволяющей ему гарантированно выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани, и при этом у Пети есть два разных первых хода, обеспечивающих выигрыш вторым ходом.

    Источник: ФИПИ (по данным открытых источников).

Готовите ученика к экзамену?

TutRoom — кабинет репетитора: расписание занятий, ученики, оплаты и онлайн-доска в одном месте. Тариф Free бесплатный.

Для репетиторов Бесплатная онлайн-доска

Читайте также

Проверено . Источники: ФИПИ — открытый банк заданий ЕГЭ · ФИПИ — спецификации и демоверсии ЕГЭ. Официальные решения публикуют Рособрнадзор, ФИПИ и Минпросвещения — при расхождении верны они.