Задание 10 ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Для намотки кабеля на катушку используют лебёдку, угол намотки $\phi$ (в градусах) которой меняется со временем по закону $\phi =\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$, где t — время в минутах, ω = 9°/мин — начальная угловая скорость, β = 2°/мин² — угловое ускорение. Через сколько минут после начала работы угол намотки достигнет 70°?

Автомобиль, движущийся со скоростью 20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением 4 м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь $S=vt-\frac{a{t}^2}{2}$ (в метрах). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 42 м. Ответ дайте в секундах.

Сила тока в цепи $I$ (в амперах) определяется напряжением источника, сопротивлением цепи и внутренним сопротивлением источника: $I=\frac{E}{R+r}$. При напряжении $E=70$ В и внутреннем сопротивлении $r=4$ Ом сила тока равна 5 А. Найдите сопротивление цепи R в омах.

Коэффициент полезного действия (в процентах) тепловой машины вычисляется по формуле $\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1}·100\%$, где $T_1$ — температура нагревателя, $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя (в кельвинах) КПД этой машины будет равен 50%, если температура холодильника равна 450 К?

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ метров над землёй, до линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли. На каком расстоянии (в километрах) от наблюдателя находится линия горизонта, если он находится на высоте 80 метров?

Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону $m\left(t\right)=m_0·2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0=64$ мг — начальная масса, T = 3 мин — период полураспада, t — время в минутах. Найдите массу вещества (в миллиграммах) через 3 минут.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе длиной $l$ километров с постоянным ускорением $a$ км/ч². Скорость вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы на участке длиной 0,4 км разогнаться до скорости 30 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

При цене $p$ (в рублях) спрос на товар равен $q=20-1p$ (единиц в месяц). Выручка в месяц $r=qp$. При какой наименьшей цене месячная выручка составит 100 рублей? Ответ дайте в рублях.

Для намотки кабеля на катушку используют лебёдку, угол намотки $\phi$ (в градусах) которой меняется со временем по закону $\phi =\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$, где t — время в минутах, ω = 18°/мин — начальная угловая скорость, β = 8°/мин² — угловое ускорение. Через сколько минут после начала работы угол намотки достигнет 1036°?

Автомобиль, движущийся со скоростью 20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением 2 м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь $S=vt-\frac{a{t}^2}{2}$ (в метрах). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 99 м. Ответ дайте в секундах.

Сила тока в цепи $I$ (в амперах) определяется напряжением источника, сопротивлением цепи и внутренним сопротивлением источника: $I=\frac{E}{R+r}$. При напряжении $E=63$ В и внутреннем сопротивлении $r=5$ Ом сила тока равна 3 А. Найдите сопротивление цепи R в омах.

Коэффициент полезного действия (в процентах) тепловой машины вычисляется по формуле $\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1}·100\%$, где $T_1$ — температура нагревателя, $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя (в кельвинах) КПД этой машины будет равен 20%, если температура холодильника равна 760 К?

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ метров над землёй, до линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км — радиус Земли. На каком расстоянии (в километрах) от наблюдателя находится линия горизонта, если он находится на высоте 20 метров?

Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону $m\left(t\right)=m_0·2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0=128$ мг — начальная масса, T = 8 мин — период полураспада, t — время в минутах. Найдите массу вещества (в миллиграммах) через 32 минут.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе длиной $l$ километров с постоянным ускорением $a$ км/ч². Скорость вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы на участке длиной 0,5 км разогнаться до скорости 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

При цене $p$ (в рублях) спрос на товар равен $q=160-4p$ (единиц в месяц). Выручка в месяц $r=qp$. При какой наименьшей цене месячная выручка составит 1200 рублей? Ответ дайте в рублях.

Для намотки кабеля на катушку используют лебёдку, угол намотки $\phi$ (в градусах) которой меняется со временем по закону $\phi =\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$, где t — время в минутах, ω = 10°/мин — начальная угловая скорость, β = 8°/мин² — угловое ускорение. Через сколько минут после начала работы угол намотки достигнет 924°?

Автомобиль, движущийся со скоростью 15 м/с, начал торможение с постоянным ускорением 2 м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь $S=vt-\frac{a{t}^2}{2}$ (в метрах). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 26 м. Ответ дайте в секундах.

Сила тока в цепи $I$ (в амперах) определяется напряжением источника, сопротивлением цепи и внутренним сопротивлением источника: $I=\frac{E}{R+r}$. При напряжении $E=65$ В и внутреннем сопротивлении $r=1$ Ом сила тока равна 5 А. Найдите сопротивление цепи R в омах.

Коэффициент полезного действия (в процентах) тепловой машины вычисляется по формуле $\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1}·100\%$, где $T_1$ — температура нагревателя, $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя (в кельвинах) КПД этой машины будет равен 20%, если температура холодильника равна 400 К?